Jako przykład rozważymy różnicę potencjałów między powierzchnią i środkiem sfery o promieniu \( R \) naładowanej jednorodnie ładunkiem \( Q \). Jak pokazaliśmy w module Zastosowanie prawa Gaussa: Jednorodnie naładowana sfera pole elektryczne wewnątrz naładowanej sfery ( \( r < R \) ) jest równe zeru \( E = 0 \). Oznacza to (równanie Potencjał elektryczny-( 5 ) ), że różnica potencjałów też jest równa zeru \( V_{B}- V_{A} = 0 \), to znaczy potencjał w środku jest taki sam jak na powierzchni sfery. Natomiast na zewnątrz (dla \( r {\geq} R \)) potencjał jest taki jak dla ładunku punktowego skupionego w środku sfery, czyli jest dany równaniem Potencjał elektryczny-( 2 ). Zależność potencjału i odpowiadającego mu natężenia pola od odległości od środka naładowanej sfery jest pokazana na Rys. 1.

Porównując dwa powyższe wykresy \( V(r) \) i \( E(r) \), możemy zauważyć, że istnieje między nimi związek dany wyrażeniem

W każdym punkcie natężenie pola \( E(r) \) jest równe nachyleniu wykresu \( V(r) \) ze znakiem minus.
Ten związek pomiędzy natężeniem pola i potencjałem wynika wprost z równania Potencjał elektryczny-( 5 ) bo na jego mocy \( {\mathit{dV}=\mathit{Edr}} \).
Obliczanie potencjału dla układu ładunków punktowych prześledzimy na przykładzie potencjału dipola. W tym celu rozpatrzymy punkt \( P \) odległy o \( r \) od środka dipola tak jak to widać na Rys. 2. Położenie punktu \( P \) jest określone poprzez \( r \) i \( \theta \).

Korzystamy z zasady superpozycji:

Dlatego potencjał w punkcie \( P \) pochodzący od ładunków \( Q \) i \( -Q \) wynosi

To jest ścisłe wyrażenie na potencjał dipola, ale do jego obliczenia potrzeba znać \( r_1 \) oraz \( r_2 \). My natomiast rozważymy tylko punkty odległe od dipola, dla których \( r>>l \). Dla takich punktów możemy przyjąć z dobrym przybliżeniem, że \( {r_{2}-r_{1}}\approx {l \cos \theta} \) oraz \( {r_{{2}}r_{{1}}\approx r^{{2}}} \). Po uwzględnieniu tych zależności wyrażenie na potencjał przyjmuje postać

gdzie \( p = Ql \) jest momentem dipolowym.

Zadanie 1: Potencjał dipola elektrycznego

Treść zadania:

Wykonaj ścisłe obliczenia potencjału elektrycznego tego dipola w punkcie leżącym odpowiednio: a) na symetralnej dipola, tj. na osi \( y \) w odległości \( r \) od jego środka, b) na dodatniej półosi \( x \) w odległości \( r \) od środka dipola, c) na ujemnej półosi \( x \) w odległości \( r \) od środka dipola.
\( V_{A} = \)
\( V_{B} = \)
\( V_{C} = \)

Rozwiązanie:

Dane: \( r \), \( Q \), \( k \)

Rysunek 3:

Potencjał w dowolnym punkcie obliczamy jako sumę potencjałów od poszczególnych ładunków punktowych, korzystając ze wzoru ( Potencjał elektryczny-( 2 ) ) \( {V(r)=k\frac{Q}{r}} \). Otrzymujemy kolejno:

(4)

\( {V_{{A}}=V_{{+{}}}+V_{{-{}}}=k\frac{Q}{\sqrt{r^{{2}}+\left(\frac{l}{2}\right)^{{2}}}}+k\frac{(-Q)}{\sqrt{r^{{2}}-\left(\frac{l}{2}\right)^{{2}}}}=0} \)

(5)

\( {V_{{B}}=V_{{+{}}}+V_{{-{}}}=k\frac{Q}{r+\frac{l}{2}}+k\frac{(-Q)}{r-\frac{l}{2}}=k\frac{(-\text{Ql})}{r^{{2}}-\left(\frac{l}{2}\right)^{{2}}}=-k\frac{p}{r^{{2}}-\left(\frac{l}{2}\right)^{{2}}}} \)

(6)

\( {V_{{C}}=-V_{{B}}} \)

Na zakończenie wróćmy do modułu Zastosowanie prawa Gaussa: Płaskie rozkłady ładunków i obliczymy różnicę potencjałów dla dwóch przeciwnie naładowanych płyt o polu powierzchni \( S \) każda, znajdujących się w odległości \( d \) od siebie. Ładunki na płytach wynoszą odpowiednio \( +Q \) i \( -Q \), więc gęstość powierzchniowa ładunku \( \sigma = Q/S \). Ze wzoru Potencjał elektryczny-( 5 ) wynika, że

a ponieważ, zgodnie z naszymi obliczeniami, pole pomiędzy płytami jest równe \( E = \sigma / \varepsilon_{0} \), więc

lub